M 10.5.2 Ausbau der Funktionenlehre

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Laut Lehrplan gewinnen die Schüler in Jahrgangsstufe 10 anhand des unterschiedlichen Verhaltens von Funktionen an den Rändern ihres jeweiligen Definitionsbereichs aus der Anschauung heraus einen Grenzwertbegriff für x  ±. Ziel ist die Entwicklung eines tragfähigen Verständnisses des Grenzwertbegriffs – veranschaulicht anhand typischer Graphen der bisher angesprochenen Funktionsarten – und nicht die schematisierte Abarbeitung einer formalen Definition, wie sie z. B. die derzeit zugelassene Formelsammlung für das neunjährige Gymnasium bietet:

Nicht eine formale Definition, sondern ihre Aussage, die am asymptotischen Verlauf von Funktionsgraphen deutlich wird, steht im Vordergrund (vgl. Beispielaufgabe 1). Zur Veranschaulichung des Grenzverhaltens bietet sich der Einsatz elektronischer Hilfsmittel an, z. B. zur Darstellung von Funktionsgraphen oder zur automatisierten Erstellung von Wertetabellen.

Neben der Behandlung des Grenzwertbegriffs liegt der Schwerpunkt dieses Lehrplankapitels im Auffrischen, Zusammenführen und Vertiefen bereits angelegter Inhalte. Die Einbettung des Grenzwertbegriffs in diesen Kontext signalisiert, dass dessen Behandlung mit bekannten Funktionsarten und deren Eigenschaften vernetzt werden soll. So kann bei gebrochen-rationalen Funktionen sowohl beim Grenzwert für x  ± als auch beim Verhalten an Definitionslücken auf Kenntnisse aus den Jahrgangsstufen 8 und 9 zu ausgewählten Beispielen derartiger Funktionen Bezug genommen werden (vgl. Beispielaufgabe 2).

Zur Bestimmung von Grenzwerten wird auf das bekannte Grenzverhalten grundlegender Funktionen  zurückgegriffen; die für Schüler erfahrungsgemäß offensichtlichen Grenzwertregeln werden angewandt. Wie auch bereits im Lehrplan des neunjährigen Gymnasiums vorgesehen, müssen die Rechenregeln für Grenzwerte jedoch nicht mathematisch exakt begründet werden.

Algebraische Umformungen, z. B. Ausklammern der höchsten Nennerpotenz, unterstützen die intuitive Anwendung der Grenzwertregeln; Abschätzungen, z. B. , untermauern anschauliche Argumentationen (vgl. Beispielaufgabe 3).

Der Bedeutung für die Mathematik und dem kumulativen Charakter des Lehrplans entsprechend, wird der Grenzwertbegriff auch in den beiden noch folgenden Jahrgangsstufen immer wieder aufgegriffen. Der Lehrplan sieht bereits zu Beginn der Jahrgangsstufe 11 im Kapitel „M 11.1.1 Graphen gebrochen-rationaler Funktionen“ ein Auffrischen des Grenzwertbegriffs und Erweitern auf den Fall x  x0 vor.

 

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