M 8.3 Funktionale Zusammenhänge: elementare gebrochen-rationale Funktionen

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In Jahrgangsstufe 8 lernen die Schüler neben den linearen Funktionen auch einfache gebrochen-rationale Funktionen kennen. Dies wirkt einer zu einseitigen Besetzung des Funktionsbegriffs mit linearen Funktionen entgegen und eröffnet zudem die Möglichkeit, Bruchterme graphisch zu veranschaulichen und im Zuge dessen Bruchgleichungen auch graphisch zu lösen. Dabei wird flexibles Herangehen an neue Problemstellungen gefördert und gleichzeitig dem Gedanken der Vernetzung Rechnung getragen. Im Lehrplan ist ausdrücklich nur von einfachen Beispielen gebrochen-rationaler Funktionen die Rede; auch der vorgesehene Stundenumfang und die Kapitelüberschrift „elementare gebrochen-rationale Funktionen“ signalisieren dies. So sollten die betrachteten Funktionen in der Regel nur eine Definitionslücke aufweisen und ihre Graphen auf waagrechte und senkrechte Asymptoten beschränkt bleiben; gebrochen-rationale Funktionen mit schrägen Asymptoten sind nicht vorgesehen. An eine systematische Behandlung dieses Funktionstyps, z. B. die Abhängigkeit des Graphenverlaufs von Zähler- und Nennergrad, ist nicht gedacht. Auch sollte das Grenzwertverhalten nur anschaulich im Sinne der Annäherung eines Graphen an seine Asymptoten bzw. im Sinne der zugehörigen Entwicklung der Termwerte angesprochen werden. Funktionsplotter unterstützen dabei die Visualisierung von Funktionen.

Im Rahmen dieses Lehrplankapitels erwerben die Schüler auch algebraische Fertigkeiten für den Umgang mit einfachen Bruchtermen und Bruchgleichungen in einem der Jahrgangsstufe adäquaten Maß. Dabei steht nicht die Komplexität einzelner Terme, sondern variantenreiches Üben, das die Vernetzung mit gebrochen-rationalen Funktionen einbezieht, im Vordergrund. Die binomischen Formeln werden erst in Jahrgangsstufe 9 behandelt und stehen somit an dieser Stelle noch nicht zur Verfügung.

Erste Erfahrungen mit Bruchtermen haben die Schülerinnen und Schüler bereits in Jahrgangsstufe 7 im Rahmen des Kapitels „M 7.2.1 Term und Zahl“ gesammelt, als sie beim Berechnen von Termwerten das Rechnen mit rationalen Zahlen wiederholten und vertieften. In Jahrgangsstufe 8 wurden in „M 8.1.1 Proportionalität“ und „M 8.1.2 Funktion und Term“ Bruchterme erneut aufgegriffen. Im Sinne des kumulativen Lehrplanaufbaus werden Bruchgleichungen und Bruchterme insbesondere auch in den Lehrplankapiteln „M 8.4 Strahlensatz und Ähnlichkeit“, „M 9.2.2 Quadratische Funktionen in Anwendungen“ und „M 10.5.2 Vertiefen der Funktionenlehre“ sowie in der Oberstufe thematisiert.

Im Kontext von Bruchtermen erweitern die Schüler Potenzen auch auf negative Exponenten und üben an Termen angemessener Komplexität die in dieser Jahrgangsstufe explizit formulierten Potenzgesetze ein. In Jahrgangsstufe 9 werden dann in Kapitel „M 9.3 Erweiterung des Potenzbegriffs“ Potenzen mit gebrochenen Exponenten eingeführt.

 

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