M 6.1.1 Erweitern und Kürzen

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Die Schüler lernen ausgehend von Anteilen Brüche als Zahlen kennen. Bei dieser ersten Begegnung kommt der anschaulichen Deutung von Bruchzahlen ein hoher Stellenwert zu, rein Formales darf nicht dominieren. In diesem Sinne werden auch die Begriffe Erweitern und Kürzen eingeführt:

  1. Ausgehend von der „Grunddefinition“ eines Bruches (ein Ganzes wird in gleiche Teile zerlegt; der Nenner gibt die Gesamtanzahl dieser gleichen Teile an; der Zähler zählt diese Teile) kann das Erweitern als Verfeinerung und das Kürzen als eine Vergröberung der Zerlegung verstanden werden:


    Der Bruch hat trotz der jeweils unterschiedlichen Darstellung immer den gleichen Wert und wird daher durch denselben Punkt auf der Zahlengeraden repräsentiert.
  2. Beim formalen Kürzen spielen Aspekte der Teilbarkeitslehre eine Rolle. Ziel ist es, gemeinsame Teiler einer Zahl zu finden. Dazu kann auf die gemeinhin bereits aus der Grundschule bekannten Teilbarkeitsregeln für 2, 5 und 10 zurückgegriffen werden. Weitere Teilbarkeitsregeln, z. B. die Quersummenregeln für die Teilbarkeit durch 3 oder 9, können – sofern noch nicht geschehen – an dieser Stelle thematisiert werden. Da bei der Verwendung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) meist schriftliche Nebenrechnungen erforderlich sind, wurde auch bereits bisher i. d. R. sukzessives Kürzen vorgezogen, z. B. .
    Die Reihenfolge der verwendeten Teiler oder eine Abkürzung des Verfahrens – etwa durch Erkennen der Teilbarkeit durch 4 und anschließend durch 21 – kann nach Maßgabe der Schüler erfolgen. Die Verwendung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) ist nicht erforderlich. Falls dieser Begriff je nach individuellem methodisch-didaktischen Ermessen dennoch verwendet wird, so ist in Anbetracht der im Lehrplan veranschlagten Zeit für die in diesem Kapitel zu behandelnden Inhalte eine zielgerichtete Einführung über die Wortbedeutung ohne weitergehende Formalisierung (also ohne Verwendung des Algorithmus über Primfaktorzerlegungen) angeraten. Eine Erarbeitung und Verwendung des ggT unter rein schematischen Gesichtspunkten widerspricht der Intention des Lehrplans.

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